Nach einer privaten Schauspielausbildung waren Martin Leutgebs erste Bühnenstationen das Tiroler Landestheater in Innsbruck (1991–1994), das Salzburger Landestheater (1994–1999) und das Staatstheater in Saarbrücken (1999–2005). Von 2005 bis 2011 war er Ensemblemitglied am Staatstheater in Stuttgart.

Martin Leutgeb wirkte in zahlreichen Film- und Fernsehproduktionen mit. Darunter Spielfilme wie Winterschläfer von Tom Tykwer und Das finstere Tal von Andreas Prochaska. Er trat als Darsteller in Fernsehserien wie Der Bergdoktor, Die Bergretter, SOKO Kitzbühel, SOKO Donau/Wien und Vier Frauen und ein Todesfall auf. Zudem war er in drei Fernsehfilmen aus der Fernsehreihe Tatort zu sehen, seit 2013 ist er in Serien wie CopStories und Die Bergretter zu sehen.